Coherent fans in the space of flows in framed graphs

Let G = (V,E) be a finite acyclic directed graph. Being motivated by a study of certain aspects of cluster algebras, we are interested in a class of triangulations of the cone of non-negative flows in G, F+(G). To construct a triangulation, we fix a framing at each inner vertex v of G, which consists of two linear orders: one on the set of incoming edges, and the other on the set of outgoing edges of v. A digraph G endowed with a framing at each inner vertex is called framed. Given a framing on G, we define a reflexive and symmetric binary relation on the set of extreme rays of F+(G). We prove that that the complex of cliques formed by this binary relation is a pure simplicial complex, and that the cones spanned by cliques constitute a unimodular simplicial regular fan Σ(G) covering the entire F+(G). Résumé. Soit G = (V,E) un graphe orienté, fini et acyclique. Nous nous intéressons, en lien avec l’étude de certains aspects des algèbres amassées, à une classe de triangulations du cône des flots positifs de G, F+(G). Pour construire une triangulation, nous ajoutons une structure en chaque sommet interne v de G, constituée de deux ordres totaux : l’un sur l’ensemble des arcs entrants, l’autre sur l’ensemble des arcs sortants de v. On dit alors que G est structuré. On définit ensuite une relation binaire réflexive et symétrique sur l’ensemble des rayons extrêmes de F+(G). Nous démontrons que le complexe des cliques formé par cette relation binaire est un complexe simplicial pur, et que le cône engendré par les cliques forme un éventail régulier simplicial unimodulaire Σ(G) qui couvre complètement F+(G).